みなさんコンニチハ．
最近はずっとTeXで数学の文書を書きまくっています．
TeXをやっているときって，なんだか時間がものすごく早く過ぎます…
そして，美しい数式のフォルムは，いつ見てもうっとりします…
（もはやTeXオタクすぎて病気かもしれません…）
加法定理はすごいって話
前回ぼくが書いた記事では，三角関数の公式なんぞ，加法定理から導いてしまえ!!
というお話をしました．三角関数の加法定理→種々の公式 という流れには，
数学の本質的な「少数の基本原理→様々な結果」という考え方が
かなり色濃くあらわれているんだよ～，と．
だから，三角関数の加法定理っていうのは，
かなり本質的な「基本原理」だから，これは必ず知っておこうぜ！
というお話をしたところだったのですが…
オイラーの公式
オイラーの公式という，超有名な公式があります．
この式は，指数関数と三角関数のマクローリン展開によって証明されますが，
三角関数と指数関数という，”一見”何の関係もなかった関数が
虚数単位を仲立ちにしてここまで分かりやすく繋がるという，
まぁー，なかなかに感慨深い公式なのです．
この公式に θ=π を代入した式
は，あまりにも有名ですね．（博士の愛した数式という小説でも沢山出てきてましたね)
オイラーの公式が加法定理すら集約する
で，このオイラーの公式っつーのは凄いわけです．
というのも，三角関数の加法定理ってのは，オイラーの公式からちょいっと導かれてしまうのです．
てなわけで，ちょいと本格的な話ですが，
せっかくの数学なんでも相談所ということで，やってみましょう．
これは，オイラーの公式からすぐに分かることなので，す，が．
一方で，指数法則より，
最初の式と実部と虚部を比較すれば，実は加法定理が出てきていることが分かりますか？
これは何とも，驚くべきお話です．
加法定理ってのは，初等的に証明すると結構大変な式なんですが，
オイラーの公式は，いとも簡単に導き出しちゃうのです．
オイラーの公式はすごい
ちなみにオイラーの公式ってすごくて，
こういう「え！？そんな簡単に導けちゃうの！？」みたいなことがよく起きます．
たとえば，ちょっとマニアックですが，三角関数のラプラス変換の公式
は，ふつーに定義から導こうと思うとけっこう大変なのですが，
指数関数のラプラス変換
とオイラーの公式と，ラプラス変換の線形性を使うと，これまたあっという間にわかります．
いっぽう，オイラーの公式より，
実部と虚部比べると，もう公式出てきてますよね．
なんとも，オイラーの公式の凄さが実感できる結果です．
こんな感じで，「オイラーの公式で劇的に簡単になること」を探してみるのも面白いですよ．
「すべてがひとつに集約される」楽しさ
数学には「すべてがひとつに集約される」面白さというのがあって，
今回紹介したオイラーの公式に限らず，いろんなところにそういったタイミングが現れます．
それに出会えたとき，数学ってやっぱり面白いなぁ，と
僕は毎回毎回，再認識するのです．
喋り始めるとキリがないのですけどね笑
このブログが，せめて僕の語りの発信場所になれば嬉しいなぁ．
ということでまた次号で！あでゅー！！